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프리드만 방정식

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목차

1. 개요

프리드만 방정식은 우주가 공간적으로 균일하고 등방성을 가진다는 가정을 바탕으로, 우주의 척도 인자의 진화를 설명하는 연립 미분 방정식이다. 이 방정식은 아인슈타인 방정식을 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량에 적용하여 유도되며, 우주의 팽창 속도와 관련된 허블 매개변수를 포함한다. 프리드만 방정식은 우주론적 매개변수인 밀도 매개변수를 사용하여 표현되며, 물질-지배, 복사-지배, 우주 상수-지배 우주 등 다양한 우주 모델의 해를 제공한다. 2022년 중국 시위에서 칭화대 학생들이 이 방정식이 적힌 플래카드를 들고 시위에 참여한 사례가 있다.

2. 가정

프리드만 방정식은 우주론 원리에 기반하여 우주가 공간적으로 균질하고 등방적이라는 가정에서 출발한다. 이는 100 Mpc 이상의 큰 규모에서 관측적으로 타당하다.

우주는 균일한 밀도와 압력을 가진 이상 유체로 채워져 있다고 가정하며, 우주의 시공간은 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량으로 기술된다. 물질 분포는 완전 유체라고 가정하여 에너지-운동량 텐서를 다음과 같이 나타낸다.

: T_{\mu\, \nu}=P g_{\mu\, \nu} + (P + \rho c^2)\, u_\mu u_\nu \,


  • P는 압력, \rho는 밀도이다.
  • u_\mu는 관측자의 4원 속도 벡터(공동 좌표계라면 u_\mu=(c,0,0,0))이다.


이러한 가정을 바탕으로, 우주 상수 \Lambda를 가진 아인슈타인 방정식을 전개하면 프리드만 방정식을 얻을 수 있다.

2. 1. 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량

프리드만 방정식은 우주가 공간적으로 균질하고 등방적이라는 단순화된 가정, 즉 우주론 원리에서 시작한다. 경험적으로 이는 100 Mpc 수준보다 큰 규모에서 타당하다. 우주론 원리에 따르면 우주의 계량은 다음과 같은 형태를 띤다.

:\mathrm-{d}s^{2}=a(t)^{2}\ {\mathrm{d}s_{3}}^{2}-c^{2}\ \mathrm{d}t^{2}

여기서 {\mathrm{d}s_{3}}^{2}는 3차원 계량으로, 다음 세 가지 경우 중 하나이다.

  • (a) 평평한 공간
  • (b) 일정한 양의 곡률을 가지는 구면 공간
  • (c) 일정한 음의 곡률을 가지는 쌍곡 공간


이 계량을 프리드만-르메트르-로버트슨-워커(FLRW) 계량이라고 부른다. 여기서 k는 가우스 곡률을 나타내는 값으로, 위 세 가지 경우에 따라 각각 0, 1, -1의 값을 갖는다. 이로써 우리는 척도인자 a(t)를 정의할 수 있다.

아인슈타인 방정식은 척도인자의 변화를 우주의 압력 및 에너지와 연결한다. FLRW 계량에서 크리스토펠 기호를 계산하고, 리치 텐서를 계산한다. 그 후, 이상 유체에 대한 응력-에너지 텐서를 아인슈타인의 장 방정식에 대입하면 프리드만 방정식을 얻을 수 있다.

3. 방정식

프리드만 방정식은 균질하고 등방적인 우주를 기술하기 위해 필요한 두 개의 독립적인 방정식으로 구성된다.[1] 첫 번째 방정식은 아인슈타인 방정식의 00 성분에서 유도된 것이다.

:\frac{\dot{a}^{2}+kc^{2}}{a^{2}}=\frac{8\pi G\rho+\Lambda c^{2}}{3}

두 번째 방정식은 첫 번째 방정식과 아인슈타인 장 방정식의 대각합에서 유도된다.

:\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi G}{3}\left(\rho +\frac{3p}{c^2}\right)+\frac{\Lambda c^{2}}{3}

여기서 a는 척도인자, G는 중력 상수, \Lambda는 우주 상수, c는 진공에서의 광속, \rho는 체적당 질량 밀도, p는 압력, k는 공간 곡률을 나타내는 상수이다.[1]

이 방정식들을 통해 우주의 팽창 및 진화를 기술할 수 있다.

3. 1. 방정식의 유도

프리드만 방정식은 우주가 공간적으로 균질하고 등방적이라는 가정, 즉 우주론 원리에서 시작한다. 이는 100 Mpc보다 큰 규모에서 타당하다. 이러한 가정을 바탕으로, 우주의 계량은 다음과 같은 프리드만-르메트르-로버트슨-워커(FLRW) 계량 형태를 띈다.

:\mathrm-{d}s^{2}=a(t)^{2}\ {\mathrm{d}s_{3}}^{2}-c^{2}\ \mathrm{d}t^{2}

여기서 {\mathrm{d}s_{3}}^{2}는 3차원 계량으로, (a) 평평한 공간, (b) 일정한 양의 곡률을 가지는 구면 공간, (c) 일정한 음의 곡률을 가지는 쌍곡 공간 중 하나이다. 척도인자 a(t)를 사용하여 우주의 진화를 기술한다.

FLRW 계량으로부터 크리스토펠 기호를 계산하고, 이를 통해 리치 텐서를 구한다. 이후, 이상 유체의 응력-에너지 텐서를 아인슈타인 방정식에 대입하면 프리드만 방정식을 얻을 수 있다.[1]

FLRW 계량은 다음과 같다.

:ds^2 = -c^2 dt^2+a(t)^2 \left[ \frac{dr^2}{1-kr^2}+{r}^2 \! \left( d\theta^2+\sin^2\!\theta \, d\phi^2 \right) \right]

여기서 a(t)는 우주의 척도 인자이고, k는 시공간의 곡률을 나타내며, +1, -1, 0 중 하나의 값을 갖는다.

물질 분포는 완전 유체로 가정하여, 에너지-운동량 텐서는 다음과 같다.

: T_{\mu\, \nu}=P g_{\mu\, \nu} + (P + \rho c^2)\, u_\mu u_\nu \,

여기서 P는 압력, \rho는 밀도, u_\mu는 관측자의 4원 속도 벡터이다.

이러한 가정들을 바탕으로, 우주 상수\Lambda를 포함한 아인슈타인 방정식을 전개하면 다음의 프리드만 방정식을 얻는다.

: \left(\frac{\,\dot{a}\,}{a}\right)^2 +\frac{k c^2}{a^2}-\frac{\Lambda c^2}{3}= \frac{8 \pi G}{3} \rho

: 2\frac{\,\ddot{a}\,}{a} + \left(\frac{\,\dot{a}\,}{a}\right)^2 +\frac{k c^2}{a^2}-\Lambda c^2=- \frac{8 \pi G}{c^2} P

두 번째 식은 에너지-운동량 보존 법칙을 가정하면 첫 번째 식으로부터 유도 가능하므로, 실질적으로 우주의 동역학적 거동은 첫 번째 식으로 주어진다.[1]

3. 2. 허블 매개변수

Hubble parameter영어인 허블 매개변수(H)는 척도인자의 시간에 따른 변화율을 척도인자로 나눈 값(H\equiv\frac{\dot{a}}{a})으로 정의된다.[8] 허블 매개변수는 허블-르메트르 법칙에 등장하며, 우주의 팽창 속도를 나타내는 중요한 물리량이다.

허블 매개변수는 방정식의 다른 부분, 특히 질량 밀도, 진공 에너지, 공간 곡률 등이 시간에 따라 변하면 함께 변한다. 현재 시점에서 허블 매개변수를 평가하면 허블-르메트르 법칙의 비례 상수인 허블 상수가 된다.

4. 우주론 파라미터

우주론 파라미터는 우주의 구성 성분과 기하학적 성질을 나타내는 값으로, 프리드만 방정식이 그리는 우주의 역학을 결정한다.

프리드만 방정식에서 우주론 파라미터를 구하기 위해서는 다음의 요소들이 필요하다.


  • 상태 방정식 (p와 \rho의 관계식)
  • 우주의 곡률 (k)
  • 우주항의 유무 (\Lambda)


위의 요소들을 지정하면, 스케일 팩터 a(t)의 거동이 주어진다.

이때, 우주항이 없고 우주의 곡률을 0으로 했을 때의 물질 밀도를 임계 밀도 (\rho_c\equiv \frac{3H^2}{8 \pi G})라고 하며, 이를 사용하여 우주의 밀도 매개변수를 다음과 같이 정의한다.

:\Omega \equiv \frac{\rho}{\rho_c} = \frac{8 \pi G}{3 H^2}\rho

여기서 H \equiv \frac{\,\dot{a}\,}{a}는 허블 상수이다.

관측적 우주론에서는 위에서 얻을 수 있는 \left( H, \Omega, k, \Lambda \right)가 우주 모델을 결정하는 기본적인 매개변수가 되며, 이것들을 우주론적 매개변수라고 부른다.

4. 1. 밀도 파라미터

'''밀도 파라미터'''(density parameter영어) \Omega는 관측된 실제 밀도 \rho와 프리드만 우주의 임계밀도 \rho_{\mathrm{c}}의 비율로 정의된다. 실제 밀도와 임계밀도의 관계는 우주의 전반적인 기하학을 결정한다. 만약 두 밀도가 같다면 우주의 모양은 평평하다.[9][10]

임계밀도는 우주상수 항을 고려하지 않은 초기 모형에서는 영원히 팽창하는 우주와 팽창하다가 수축하는 우주를 구분하는 분기점으로 정의되기도 하였다.

오늘날 우주의 임계밀도는 입방미터 당 수소 원자 다섯 개와 비슷한 값을 가지는 것으로 추산되며, 보통 물질의 평균 밀도는 입방미터 당 수소 원자 0.2~0.25개 수준으로 여겨진다.[9][10]

우주 에너지 밀도의 상대적 조성. 암흑 에너지(74%)가 총 에너지를 지배하며, 암흑 물질(22%)은 질량의 대부분을 차지한다. 나머지 중입자 물질(4%)은 그중에서도 10분의 1만이 조밀하게 분포한다. 2015년 2월, 플랑크 우주론 탐사 협업의 관측 결과에 따라 암흑 에너지 69.1%, 암흑 물질 25.9% 보통 물질 4.9%로 값이 개정되었다.


상당 부분의 밀도는 규명된 바 없는 암흑 물질에서 비롯된 것이다. 보통 물질과 암흑 물질 모두 우주가 수축하게끔 하는 성질을 가지고 있다. 그러나 가장 많은 부분은 암흑 에너지에서 비롯되며, 암흑 에너지는 우주상수 항을 설명하는 역할을 한다. 총 밀도는 임계밀도와 (정확히는 측정 오차 범위 내에서) 동일하더라도 암흑 에너지는 우주가 수축하게끔 하지 않고, 그 팽창을 가속한다. 그러므로, 우리 우주는 영원히 팽창할 가능성이 높다.[11]

임계밀도는 기본 프리드만 우주에서와 같이 우주상수 \Lambda가 0이고 규격화된 공간 곡률 k가 0이라는 가정을 통해 구할 수 있다. 이를 첫 번째 프리드만 방정식에 대입하면 다음을 구할 수 있다.

:\begin{aligned}

\rho_{\mathrm{c}} & =\frac{3H^{2}}{8\pi G}=1.8788\times10^{-26}\ h^{2}\mathrm{kg\ m^{-3}} \\

& = 2.7754\times10^{11}\ h^{2}\ M_{\odot}\ \mathrm{Mpc^{-3}}

\end{aligned}

:여기서 h=H_{0}/\left(100\ \mathrm{km/s/Mpc}\right)이다. 즉, H_{0}=67.4\ \mathrm{km/s/Mpc}일 경우 h=0.674이며, \rho_{\mathrm{c}}=8.5\times10^{-27}\ \mathrm{kg/m^{3}}이다.

그러면 밀도 파라미터를 다음처럼 정의하여 서로 다른 우주론 모형을 비교하는 데 유용하게 쓸 수 있다.

:\Omega\equiv\frac{\rho}{\rho_{\mathrm{c}}}=\frac{8\pi G \rho}{3H^{2}}.

본래 이 항은 우주의 공간적 기하학을 결정하는 도구로 쓰였다. 여기서 \rho_{\mathrm{c}}는 공간의 모양이 평평할 때, 달리 말하면 유클리드적인 경우를 나타내는 임계밀도다. 진공 에너지를 0으로 가정하면, \Omega가 1보다 클 때 우주의 공간은 닫힌 형태이다. 이 경우에 우주는 어느 순간에 팽창을 멈추고 붕괴한다. 반대로 \Omega가 1보다 작다면 우주 공간은 열린 형태이며, 우주는 영원히 팽창한다. 그러나 공간 곡률과 진공 에너지 항 역시 보다 일반적인 형태의 \Omega로 나타내는 것이 가능하다. 이 경우 밀도 파라미터는 정확히 1과 같다. 그러면 각 성분은 아래첨자를 사용하여 나타내면 된다. ΛCDM 모형에서는 \Omega의 주성분으로 중입자 물질, 차가운 암흑 물질, 암흑 에너지가 있다. 우주의 공간적 기하학은 WMAP 우주선이 측정한 바에 의하면 거의 평평하다. 이는 우주를 공간 곡률 계수 k가 0인 모형으로 잘 근사할 수 있음을 뜻한다. 그렇지만 이는 우주가 필연적으로 무한하리라는 의미를 내포하진 않는다.

첫 번째 프리드만 방정식은 오늘날 밀도 파라미터를 사용하여 다음처럼 나타내는 편이다.[12]

:\frac{H^{2}}{H_{0}^{2}}=\Omega_{\mathrm{0,R}}a^{-4}+\Omega_{\mathrm{0,M}}a^{-3}+\Omega_{\mathrm{0,k}}a^{-2}+\Omega_{\mathrm{0,\Lambda}}.

여기서 \Omega_{\mathrm{0,R}}은 오늘날(a=1일 때) 복사 밀도이며, \Omega_{\mathrm{0,M}}은 오늘날 물질(암흑 물질과 중입자 물질의 합)의 밀도, \Omega_{\mathrm{0,k}}=1-\Omega_{0}은 오늘날 "공간 곡률 밀도", \Omega_{\mathrm{0,\Lambda}}는 오늘날 우주상수 내지 진공에너지의 밀도를 나타낸다.

4. 2. 우주론적 매개변수

'''밀도계수'''(\Omega)는 관측된 실제 밀도(\rho)와 프리드만 우주의 임계밀도(\rho_{\mathrm{c}})의 비율이다. 실제 밀도와 임계밀도의 관계는 우주의 전반적인 기하학을 결정한다. 두 밀도가 같다면 우주의 모양은 평평하다. 우주상수 항을 고려하지 않은 초기 모형에서는 임계밀도가 영원히 팽창하는 우주와 팽창하다가 수축하는 우주를 구분하는 분기점으로 정의되기도 하였다.

오늘날 우주의 임계밀도는 입방미터 당 수소 원자 다섯 개와 비슷한 값을 가지는 것으로 추산되며, 보통 물질의 평균 밀도는 입방미터 당 수소 원자 0.2~0.25개 수준으로 여겨진다.[9][10]

상당 부분의 밀도는 규명된 바 없는 암흑 물질에서 비롯된 것이다. 보통 물질과 암흑 물질 모두 우주가 수축하게끔 하는 성질을 가지고 있다. 그러나 가장 많은 부분은 암흑 에너지에서 비롯되며, 암흑 에너지는 우주상수 항을 설명하는 역할을 한다. 총 밀도는 임계밀도와 (정확히는 측정 오차 범위 내에서) 동일하더라도 암흑 에너지는 우주가 수축하게끔 하지 않고, 그 팽창을 가속한다. 그러므로, 우리 우주는 영원히 팽창할 가능성이 높다.[11]

임계밀도는 기본 프리드만 우주에서와 같이 우주상수(\Lambda)가 0이고 규격화된 공간 곡률(k)가 0이라는 가정을 통해 구할 수 있다. 이를 첫 번째 프리드만 방정식에 대입하면 다음을 구할 수 있다.

:\begin{aligned}

\rho_{\mathrm{c}} & =\frac{3H^{2}}{8\pi G}=1.8788\times10^{-26}\ h^{2}\mathrm{kg\ m^{-3}} \\

& = 2.7754\times10^{11}\ h^{2}\ M_{\odot}\ \mathrm{Mpc^{-3}}

\end{aligned}

:여기서 h=H_{0}/\left(100\ \mathrm{km/s/Mpc}\right)이다. 즉, H_{0}=67.4\ \mathrm{km/s/Mpc}일 경우 h=0.674이며, \rho_{\mathrm{c}}=8.5\times10^{-27}\ \mathrm{kg/m^{3}}이다.

그러면 밀도계수를 다음처럼 정의하여 서로 다른 우주론 모형을 비교하는 데 유용하게 쓸 수 있다.

:\Omega\equiv\frac{\rho}{\rho_{\mathrm{c}}}=\frac{8\pi G \rho}{3H^{2}}.

본래 이 항은 우주의 공간적 기하학을 결정하는 도구로 쓰였다. 여기서 \rho_{\mathrm{c}}는 공간의 모양이 평평할 때, 달리 말하면 유클리드적인 경우를 나타내는 임계밀도다. 진공 에너지를 0으로 가정하면, \Omega가 1보다 클 때 우주의 공간은 닫힌 형태이다. 이 경우에 우주는 어느 순간에 팽창을 멈추고 붕괴한다. 반대로 \Omega가 1보다 작다면 우주 공간은 열린 형태이며, 우주는 영원히 팽창한다. 그러나 공간 곡률과 진공 에너지 항 역시 보다 일반적인 형태의 \Omega로 나타내는 것이 가능하다. 이 경우 밀도계수는 정확히 1과 같다. 그러면 각 성분은 아래첨자를 사용하여 나타내면 된다. ΛCDM 모형에서는 \Omega의 주성분으로 중입자 물질, 차가운 암흑 물질, 암흑 에너지가 있다. 우주의 공간적 기하학은 WMAP 우주선이 측정한 바에 의하면 거의 평평하다. 이는 우주를 공간 곡률 계수(k)가 0인 모형으로 잘 근사할 수 있음을 뜻한다. 그렇지만 이는 우주가 필연적으로 무한하리라는 의미를 내포하진 않는다.

첫 번째 프리드만 방정식은 오늘날 밀도계수를 사용하여 다음처럼 나타내는 편이다.[12]

:\frac{H^{2}}{H_{0}^{2}}=\Omega_{\mathrm{0,R}}a^{-4}+\Omega_{\mathrm{0,M}}a^{-3}+\Omega_{\mathrm{0,k}}a^{-2}+\Omega_{\mathrm{0,\Lambda}}.

여기서 \Omega_{\mathrm{0,R}}은 오늘날(a=1일 때) 복사 밀도이며, \Omega_{\mathrm{0,M}}은 오늘날 물질(암흑 물질과 중입자 물질의 합)의 밀도, \Omega_{\mathrm{0,k}}=1-\Omega_{0}은 오늘날 "공간 곡률 밀도", \Omega_{\mathrm{0,\Lambda}}는 오늘날 우주상수 내지 진공에너지의 밀도를 나타낸다.

관측적 우주론에서는 프리드만 방정식에서 얻을 수 있는 \left( H, \Omega, k, \Lambda \right)가 우주 모델을 결정하는 기본적인 매개변수가 되며, 이것들을 우주론적 매개변수라고 부른다.

5. 유용한 해

프리드만 방정식은 특정한 조건에서 해석적인 해를 구할 수 있다. 이상 유체의 상태 방정식을 통해 완전히 풀 수 있으며, 공간적으로 평탄한 경우(k=0) 척도인자에 관한 해는 다음과 같다.

:a(t)=a_{0}t^{\frac{2}{3\left(w+1\right)}}

여기서 a_{0}는 초기 조건에 따라 고정되는 적분상수다.

w를 사용하는 해의 일반식은 우주론에서 매우 중요하며, 대표적인 예는 다음과 같다.


  • w=0인 경우: 압력이 질량 밀도에 둔감한 물질-지배 우주를 기술한다.
  • w=\frac{1}{3}인 경우: 복사-지배 우주를 기술한다.


w=-1인 우주상수-지배 우주에서는 에너지 밀도가 상수이며, 척도인자는 시간에 따라 지수함수적으로 증가하기 때문에 위 해가 적용되지 않는다.

5. 1. 상태 방정식

프리드만 방정식은 이상 유체의 상태 방정식을 통해 완전히 풀 수 있다.

:p = w\rho c^{2}.

여기서 p는 압력, \rho는 유체의 질량 밀도, w는 상수이다.

공간적으로 평탄한 경우(k=0), 척도인자에 관한 해는 다음과 같다.

:a(t)=a_{0}t^{\frac{2}{3\left(w+1\right)}}.

여기서 a_{0}는 초기 조건에 따라 결정되는 적분상수다.

w를 사용하는 해의 일반식은 우주론에서 매우 중요하다. 예를 들어 w=0인 경우는 압력이 질량 밀도에 둔감한 물질-지배 우주를 기술하며, 일반적인 해에서는 척도인자가 시간 t에 따라 다음과 같이 변화한다.

:a(t)\propto t^{\frac{2}{3}}

또 다른 중요한 예는 w=\frac{1}{3}인 복사-지배 우주의 경우이다. 이 경우 척도인자는 다음과 같이 변화한다.

:a(t)\propto t^{\frac{1}{2}}

w=-1인 우주상수-지배 우주에서는 이 해가 적용되지 않는다. 이 경우 에너지 밀도가 상수이며 척도인자는 시간에 따라 지수함수적으로 증가한다.

물질이 각기 다른 상태 방정식을 가지는 둘 이상의 비상호작용 유체로 혼합된 경우, 각 유체 f에 대하여 다음 식이 성립한다.

:\dot{\rho_{f}}=-3H\left(\rho_{f}+w_{f}\rho_{f}\right)

위 식을 통해 다음을 얻을 수 있다.

:\rho_{f}\propto a^{-3\left(1+w_{f}\right)}

예를 들어, 이러한 항을 묶어서 다음과 같이 선형적으로 나타낼 수 있다.

:\rho=Aa^{-3}+Ba^{-4}+Ca^{0}

여기서 A는 a=1일 때 "티끌"(보통 물질, w=0)의 밀도, B는 a=1일 때 복사(w=\frac{1}{3})의 밀도, C는 "암흑에너지"(w=-1)의 밀도이다. 이를 다음 식에 대입하면,

:\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^{2}=\frac{8\pi G}{3}\rho-\frac{kc^2}{a^2}

척도인자 a를 시간에 대한 함수로 풀어낼 수 있다.

5. 2. 물질-지배 우주

프리드만 방정식은 이상 유체의 상태 방정식 p = w\rho c^{2}를 통해 해를 구할 수 있다. 여기서 p는 압력, \rho는 유체의 질량 밀도, w는 상수이다.

공간적으로 평탄한 경우(k=0), 척도인자(a(t))는 다음과 같이 표현된다.

:a(t)=a_{0}t^{\frac{2}{3\left(w+1\right)}}

여기서 a_{0}는 초기 조건에 의해 결정되는 적분 상수이다.

특히, w=0인 경우를 물질-지배 우주라고 하며, 압력이 질량 밀도에 비해 무시할 수 있을 정도로 작다. 이 경우 척도인자는 다음과 같이 시간에 따라 변한다.

:a(t)\propto t^{\frac{2}{3}}

5. 3. 복사-지배 우주

프리드만 방정식은 이상 유체의 상태 방정식이 p = w\rho c^{2} (p는 압력, \rho는 유체의 질량 밀도, w는 상수)일 때 완전히 풀 수 있다. 공간적으로 평탄한 경우(k=0), 복사-지배 우주에서 w=\frac{1}{3}일 때 척도인자는 다음과 같다.

:a(t)\propto t^{\frac{1}{2}}

이 해는 w=-1인 우주상수-지배 우주에서는 적용되지 않는다. 이 경우 에너지 밀도가 상수이며 척도인자는 시간에 따라 지수함수적으로 증가한다.

5. 4. 우주 상수-지배 우주

w=-1인 우주 상수-지배 우주에서는 에너지 밀도가 상수이며 척도인자는 시간에 따라 지수함수적으로 증가한다. 이 해는 w=-1이 아닌 경우에는 적용되지 않는다.

6. 2022년 중국 시위와의 연관성

2022년 중국 시위에 참가한 칭화 대학교(중국 공산당 지도자 시진핑의 모교)의 몇몇 학생들은 프리드만 방정식이 적힌 플래카드를 들고 다녔는데, 이는 일부 사람들이 "자유인"이라는 단어의 말장난으로 해석했다. 다른 사람들은 프리드만 방정식이 우주의 팽창, 즉 "열림"과 관련되어 있기 때문에 방정식의 사용을 중국의 "개방"과 제로 코로나 정책을 중단하라는 요구로 해석했다.[7]

참조

[1] 논문 Über die Krümmung des Raumes
[2] 논문 Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krümmung des Raumes
[3] 서적 Introducing Einstein's relativity Clarendon Press 2008
[4] 서적 Just six numbers: the deep forces that shape the universe Basic Books 2001
[5] 웹사이트 Universe 101 http://map.gsfc.nasa[...] NASA 2015-09-09
[6] 논문 Adventures in Friedmann cosmology: A detailed expansion of the cosmological Friedmann equations
[7] 뉴스 China's protests: Blank paper becomes the symbol of rare demonstrations https://www.bbc.com/[...] 2022-11-28
[8] 문서 "Introducing Einstein's Relativity"
[9] 문서 Just Six Numbers Orion Books, London 2000
[10] 웹인용 Universe 101 http://map.gsfc.nasa[...] NASA 2015-09-09
[11] 영상 How the Universe Works 3 Discovery Channel
[12] 저널 Adventures in Friedmann cosmology: A detailed expansion of the cosmological Friedmann equations


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